SEXT3

δ = 41 m · dα = 1.000000° sur l'angle entre amers · empreinte 80af6ca4e7e86001

Jouer sur les tolérances

Une erreur de carte par amer, une erreur angulaire commune. Baissez le δ d'un seul amer — celui que vous relèveriez au GPS — et regardez X rétrécir. Le calcul refait est certifié, pas approché : comptez quelques secondes par essai.

Le dα minimal pour que les mesures soient cohérentes vaut au moins 0.318°. Vous avez déclaré 1.000°, soit 3.1× ce minimum.

7 amers lus dans « SEXT3.csv » (2 colonnes : x, y)
7 mesures lues dans le second fichier (i, j, angle en degres) sur 21 paires possibles.

Les amers
7 points, a 1455 a 3938 m de l'origine.

X
environ 193 m de large — soit 20 fois moins que la portee des amers. Le cercle en pointille le situe ; le detail est ci-dessous.

Les traits pales vont de l'origine vers chaque amer. L'observateur n'est pas a l'origine : il est quelque part dans X, et c'est tout ce qu'on sait de lui.

X
23364.8 ± 5.5 m²

X∩
28440 ± 38 m²

X ⊊ X∩ : la clôture par Floyd-Warshall améliore au moins une borne, donc X est strictement plus petit.

13 sommets certifiés.

le nuage de ToTal

3000 tirages ; 2944 tombent dans X∩ (98 %), 56 au dehors — ceux-là, les mesures les excluent.

l'ellipse à 95 %
la région de confiance de moindres (clôture) — celle qu'un EKF publierait. Chaque estimateur a la sienne : elles n'ont ni le même centre ni la même taille.

σ	aire	de X	du nuage	position
dα/2	335.9 m²	1.4 %	13 %	dans X
dα/√3	447.8 m²	1.9 %	16 %	dans X
dα	1343 m²	5.7 %	41 %	dans X

« position » : dans X, l'ellipse est incluse dans le garanti — plus petite que ce que les données permettent, mais elle ne désigne aucune position impossible. contient X serait le seul cas honnête au sens ensembliste ; sur les huit jeux de l'étude et les trois conventions, il ne s'est jamais produit. déborde : l'ellipse attribue une probabilité non nulle à des positions que le calcul prouve impossibles.

σ n'est pas une donnée du problème : le modèle borné dit |erreur| ≤ dα, sans loi. Les trois courbes sont la même ellipse à trois échelles — même centre, même orientation, demi-axes dans le rapport des σ. Le trait porté par chaque ligne du tableau est celui de sa courbe. La plus large tombe souvent hors du cadre, qui reste celui du certifié : n'en voir que deux est normal.

« du nuage » : la part du nuage des moindres carrés que l'ellipse couvre. Sous son propre modèle elle devrait en couvrir 95 % — c'est le même estimateur, tiré dans les mêmes tolérances. L'écart ne mesure pas le hasard : il mesure ce que le modèle gaussien suppose et que les données ne donnent pas — une loi bornée, et une erreur de carte que l'ellipse ignore.

l'ellipse à 95 %
la région de confiance de moindres (visées) — celle qu'un EKF publierait. Chaque estimateur a la sienne : elles n'ont ni le même centre ni la même taille.

σ	aire	de X	du nuage	position
dα/2	1970 m²	8.4 %	49 %	dans X
dα/√3	2626 m²	11.2 %	60 %	dans X
dα	7879 m²	33.7 %	94 %	dans X

Les sommets

#	x (m)	y (m)	contraintes
1	38.311	98.795	(1,5) ∩ (1,6)
2	55.569	104.437	(1,5) ∩ (7,5)
3	-11.048	70.289	(1,6) ∩ (1,7)
4	-53.540	12.558	(1,7) ∩ (3,7)
5	112.013	59.617	(2,3) ∩ (7,3)
6	111.830	60.165	(2,3) ∩ (7,4)
7	-49.963	-77.715	(3,7) ∩ (6,7)
8	32.549	-82.017	(4,1) ∩ (6,1)
9	-4.718	-88.933	(4,1) ∩ (6,7)
10	81.703	-52.446	(6,1) ∩ (7,1)
11	86.233	-45.916	(6,3) ∩ (7,1)
12	114.231	24.865	(6,3) ∩ (7,3)
13	111.268	60.720	(7,4) ∩ (7,5)

Chaque sommet est un enclos certifié ; la largeur du plus large vaut 1.4e-14 m.

Une méthode ponctuelle, jugée par X∩

ToTal — V. Pierlot et M. Van Droogenbroeck, A New Three Object Triangulation Algorithm for Mobile Robot Positioning, IEEE Transactions on Robotics 30(3):566-577, 2014 — rend un point, pas un ensemble. Il n'a pas de modèle d'erreur : on ne lui en fabrique pas un, on déforme les données dans les tolérances du calcul certifié (δ sur les amers, dα sur les angles, uniformément — le calcul certifié borne l'erreur, il ne la suppose pas centrée) et l'on regarde où la méthode place l'observateur.

règle pour n > 3	points	dans X∩	dans X	pire violation
le triplet de plus grand \|D\| (le critère de fiabilité de l'article)	3000	2824 — 94.1 %	92.1 %	30.5°
la plus petite ellipse d'incertitude (Madsen & Andersen 1998 — la règle publiée)	3000	2944 — 98.1 %	97.0 %	0.9°
la moyenne pondérée par \|D\|	3000	2520 — 84.0 %	79.3 %	10.2°
la médiane géométrique des triplets	3000	3000 — 100.0 %	100.0 %	—
les moindres carrés sur toutes les paires (y compris celles que la clôture déduit — ce que fait X)	3000	3000 — 100.0 %	100.0 %	—
les moindres carrés sur les seules paires visées (le maximum de vraisemblance)	3000	3000 — 100.0 %	100.0 %	—

Le pourcentage qui compte est celui de X∩, et c'est le test honnête : ToTal n'emploie que deux des trois angles d'un triplet — il impose la fermeture au lieu de la constater, et ne peut donc pas voir ce que la clôture de Floyd-Warshall ajoute. Le juger sur X seul lui reprocherait des contraintes qu'il n'a jamais lues. Sur azimuts absolus les deux colonnes coïncident ; elles ne se séparent que sur graphe lacunaire.

La « pire violation » est un angle, pas une distance : un point à 2° quand dα en vaut 1.000000° viole la tolérance angulaire des deux tiers. Le convertir en mètres demanderait une direction, et il n'y en a pas une seule.

Le tracé et cette table ne sont pas de même nature que le reste de la page. X et X∩ sont certifiés : toute position hors d'eux est prouvée impossible. Le nuage est un échantillon — 3000 tirages, bruit « paires » — et ne prouve rien sur la méthode : il la montre.

Ce que cela a coûté

lecture du tableur	0.003 s
préparation du jeu	0.011 s
calcul de X∩ et X	5.005 s
aire et tracé	1.000 s
nuage de ToTal	0.276 s
total	6.480 s

Le calcul et l'analyse sont deux choses : la première est l'objet de l'étude, la seconde un outil pour la regarder. Leur coût ne dépend pas des mêmes choses — le calcul du jeu, l'analyse de la précision demandée.

Sur quoi

machine : Linux aarch64  --  Raspberry Pi 4 Model B Rev 1.1
          4 coeur(s) a 1.50 GHz, 3.7 Go,  4 fil(s) demande(s)
calcul  : intervalles fi64, mantisse hors solveur 256 bits
bati    : Sep 10 2026, gcc 14.2.0
          arrondi dirige disponible,  socle : pthreads oui, rsgc non, flint non
          gmp 6.3.0, mpfr 4.2.2, mpfi 1.5.4
sources : empreinte cbb2c1eddba1

Les temps ci-dessus valent pour cette machine et pour elle seule. Ce qui se transporte d'une machine à l'autre, ce sont les rapports — pas les secondes.

Le jeu exact engendré (ce que lit le calcul)

# ==============================================================================
#  Jeu SEXT3 -- engendre par preparer.py, NE PAS EDITER A LA MAIN
#  7 amers, portees 1455-3938 m depuis l'origine
#  delta = 41 m (40 m de carte + 1 m d'arrondi des coordonnees)
#  d_alpha = 1.000000 deg SUR L'ANGLE ENTRE AMERS
#             dont 2.22e-04 arcsec de transcription, majores et absorbes
#  7 paires mesurees sur 21 possibles
# ==============================================================================

const NOM = "SEXT3"
const EMPREINTE = "80af6ca4e7e86001"     # signature des donnees, recopiee dans le resultat

const AMERS = Tuple{Rational{BigInt},Rational{BigInt}}[
    (1407//1, 840//1),            # 1  azimut   59.17 deg
    (3269//1, 2196//1),           # 2  azimut   56.11 deg
    (120//1, 1450//1),            # 3  azimut    4.75 deg
    (-2342//1, 1046//1),          # 4  azimut  294.07 deg
    (-3040//1, 403//1),           # 5  azimut  277.54 deg
    (-2368//1, -1344//1),         # 6  azimut  240.42 deg
    (1060//1, -3175//1),          # 7  azimut  161.54 deg
]

const DELTA = Rational{BigInt}(41)
const T_D   = Rational{BigInt}(722, 82733)   # tan(d_alpha/2)

const MESURES = Dict{Tuple{Int,Int},Tuple{Rational{BigInt},Int}}(
    (1,2) => (1362//44221, 0),
    (1,7) => (-85466//67531, 0),
    (2,3) => (41890//85361, 0),
    (3,4) => (65723//93441, 0),
    (4,5) => (14342//96949, 0),
    (5,6) => (13948//41075, -1),
    (6,7) => (63552//77831, 0) )

Le journal du calcul

machine : Linux aarch64  --  Raspberry Pi 4 Model B Rev 1.1
          4 coeur(s) a 1.50 GHz, 3.7 Go,  4 fil(s) demande(s)
calcul  : intervalles fi64, mantisse hors solveur 256 bits
bati    : Sep 10 2026, gcc 14.2.0
          arrondi dirige disponible,  socle : pthreads oui, rsgc non, flint non
          gmp 6.3.0, mpfr 4.2.2, mpfi 1.5.4
========================================
  SEXT3  (7 amers)
========================================
  minorant : les cycles imposent d_alpha >= 0.3184 deg (declare 1.0000)
             pire cycle,  7 aretes : 4 3 2 1 7 6 5 4
             defaut de fermeture 2.228601 deg pour 7.000000 deg de tolerance cumulee
             exact sur TOUS les cycles : 0.3184
             marge : 3.14x ce que les cycles exigent
  7 amers, 14 contraintes orientees
  elagage sur 10 boites : 6 paires sur 91
  X∩ : 6 sommets en 0.125 s  (elagage 0.007, solveur 0.107, filtres 0.009)
  boite de depart reprise de X∩ : x[-71, 129]  y[-104, 121]
  germe repris de X∩ : 6 contrainte(s)
  critere : la cloture apporte 0 amelioree(s) et 28 fabriquee(s) sur 42  ->  X inclus strictement dans X∩, il faut calculer X
Floyd-Warshall certifie sur le graphe des mesures (7 amers)...
  coherence de type I : OK
  la cloture apporte : 0 borne(s) amelioree(s) et 28 fabriquee(s) sur 42  ->  X inclus dans Xinter

--- iteration 1 :  x[-71, 129]  y[-104, 121]
  origine des angles : secteur libre 95.7 deg
  contraintes conservees : 42 sur 42
  ensemble actif, tour 1 : |A| = 6, 6 sommet(s), 13 violee(s) (plafonne)
  ensemble actif, tour 2 : |A| = 10, 10 sommet(s), 6 violee(s) (plafonne)
  ensemble actif, tour 3 : |A| = 14, 12 sommet(s), 1 violee(s)
  ensemble actif, tour 4 : |A| = 15, 13 sommet(s), 0 violee(s)
  sommets certifies : 13
  certificat 1 : 27 prouvee(s) redondante(s), 0 douteuse(s), 205 cellule(s)

--- iteration 2 :  x[-54, 115]  y[-89, 105]
  origine des angles : secteur libre 96.9 deg
  contraintes conservees : 42 sur 42
  ensemble actif, tour 1 : |A| = 13, 13 sommet(s), 0 violee(s)
  sommets certifies : 13
  certificat 1 : 29 prouvee(s) redondante(s), 0 douteuse(s), 281 cellule(s)
  point fixe atteint.

  statut : ok
  boite  : x[-54.000000, 115.000000]  y[-89.000000, 105.000000]
  sommets : 13   contraintes actives : 13
  bord : 13 arete(s), cycle unique
  certificat : 1 passe(s), 13 actives sur 42 gardees, 486 cellule(s)
  memoire : pic 38.7 Mo
  temps : X∩ 0.125 s   X 4.754 s   aire 0.000 s   bord 0.000 s   calcul 5.001 s   mural 5.001 s
  solveur : direct=392 erreur=0 asymptote=0 non_gen=0 plusieurs=0 coords=0
  dont decomposition 10.35 s, solve_ratparam_real 1.85 s
  ecrit : /tmp/geoloc-j8uy7eoh/SEXT3.resultat.json

========================================
  SEXT3_courbes  (7 amers) -- analyse de /tmp/geoloc-j8uy7eoh/SEXT3.resultat.json
========================================
  aire de X∩ : [28402, 28479] m2  (0.268 %, niveaux 2 ; 24 prouvee(s), 0 mesuree(s), 0 majoree(s))
  bord de X∩ : 24 points  (fleche 0.98 px a 2160, niveaux 2)
  aire de X : [23359, 23371] m2  (0.0473 %, niveaux 2 ; 52 prouvee(s), 0 mesuree(s), 0 majoree(s))
  bord de X : 52 points  (fleche 0.23 px a 2160, niveaux 2)
  temps :   aire 0.920 s   bord 0.073 s
  ecrit : /tmp/geoloc-j8uy7eoh/SEXT3.analyse.json

← un autre tableur

Sommets certifiés par arithmétique exacte sur ℤ ; aire garantie — la flèche de chaque sous-arc est majorée, pas échantillonnée. Le tracé est la polyligne du calcul lui-même, point par point.