DN

δ = 31 m · dα = 3.000000° sur l'angle entre amers · empreinte 1d437d237a962203

7 amers lus dans « DN.csv » (3 colonnes : x, y, azimut)
pas de feuille de mesures : les 21 angles seront deduits des azimuts, et le graphe sera complet.

Les amers
7 points, a 7010 a 17895 m de l'origine.

X (= X∩)
environ 8517 m de large — soit 2 fois moins que la portee des amers. Le cercle en pointille le situe ; le detail est ci-dessous.

Les traits pales vont de l'origine vers chaque amer. L'observateur n'est pas a l'origine : il est quelque part dans X (= X∩), et c'est tout ce qu'on sait de lui.

X = X∩
La clôture n'apporte rien : l'égalité est prouvée, et X n'a pas eu à être calculé.

Aire garantie
6684000 ± 12000 m²

9 sommets certifiés.

le nuage de ToTal

3000 tirages ; 2809 tombent dans X∩ (94 %), 191 au dehors — ceux-là, les mesures les excluent.

l'ellipse à 95 %
la région de confiance de moindres (clôture) — celle qu'un EKF publierait. Chaque estimateur a la sienne : elles n'ont ni le même centre ni la même taille.

σ	aire	de X	du nuage	position
dα/2	1.389e+06 m²	20.7 %	67 %	dans X
dα/√3	1.852e+06 m²	27.7 %	76 %	dans X
dα	5.555e+06 m²	83.0 %	96 %	déborde

« position » : dans X, l'ellipse est incluse dans le garanti — plus petite que ce que les données permettent, mais elle ne désigne aucune position impossible. contient X serait le seul cas honnête au sens ensembliste ; sur les huit jeux de l'étude et les trois conventions, il ne s'est jamais produit. déborde : l'ellipse attribue une probabilité non nulle à des positions que le calcul prouve impossibles.

σ n'est pas une donnée du problème : le modèle borné dit |erreur| ≤ dα, sans loi. Les trois courbes sont la même ellipse à trois échelles — même centre, même orientation, demi-axes dans le rapport des σ. Le trait porté par chaque ligne du tableau est celui de sa courbe. La plus large tombe souvent hors du cadre, qui reste celui du certifié : n'en voir que deux est normal.

« du nuage » : la part du nuage des moindres carrés que l'ellipse couvre. Sous son propre modèle elle devrait en couvrir 95 % — c'est le même estimateur, tiré dans les mêmes tolérances. L'écart ne mesure pas le hasard : il mesure ce que le modèle gaussien suppose et que les données ne donnent pas — une loi bornée, et une erreur de carte que l'ellipse ignore.

l'ellipse à 95 %
la région de confiance de moindres (visées) — celle qu'un EKF publierait. Chaque estimateur a la sienne : elles n'ont ni le même centre ni la même taille.

σ	aire	de X	du nuage	position
dα/2	1.389e+06 m²	20.7 %	67 %	dans X
dα/√3	1.852e+06 m²	27.7 %	76 %	dans X
dα	5.555e+06 m²	83.0 %	96 %	déborde

Les sommets

#	x (m)	y (m)	contraintes
1	-1793.036	-5627.357	(5,1) ∩ (5,4)
2	-1961.318	-5446.594	(2,4) ∩ (5,4)
3	-750.239	-1244.326	(1,4) ∩ (2,4)
4	-592.914	-331.315	(1,4) ∩ (1,6)
5	-448.342	1380.289	(1,5) ∩ (1,6)
6	-570.801	2848.690	(7,2) ∩ (7,5)
7	-636.889	2889.563	(1,5) ∩ (7,5)
8	346.483	-2107.821	(5,1) ∩ (7,1)
9	255.061	1063.884	(7,1) ∩ (7,2)

Chaque sommet est un enclos certifié ; la largeur du plus large vaut 9.1e-13 m.

Une méthode ponctuelle, jugée par X∩

ToTal — V. Pierlot et M. Van Droogenbroeck, A New Three Object Triangulation Algorithm for Mobile Robot Positioning, IEEE Transactions on Robotics 30(3):566-577, 2014 — rend un point, pas un ensemble. Il n'a pas de modèle d'erreur : on ne lui en fabrique pas un, on déforme les données dans les tolérances du calcul certifié (δ sur les amers, dα sur les angles, uniformément — le calcul certifié borne l'erreur, il ne la suppose pas centrée) et l'on regarde où la méthode place l'observateur.

règle pour n > 3	points	dans X∩	dans X	pire violation
le triplet de plus grand \|D\| (le critère de fiabilité de l'article)	3000	463 — 15.4 %	15.4 %	54.0°
la plus petite ellipse d'incertitude (Madsen & Andersen 1998 — la règle publiée)	3000	2809 — 93.6 %	93.6 %	1.5°
la moyenne pondérée par \|D\|	3000	1683 — 56.1 %	56.1 %	20.4°
la médiane géométrique des triplets	3000	2113 — 70.4 %	70.4 %	6.7°
les moindres carrés sur toutes les paires (y compris celles que la clôture déduit — ce que fait X)	3000	2999 — 100.0 %	100.0 %	0.1°
les moindres carrés sur les seules paires visées (le maximum de vraisemblance)	3000	2999 — 100.0 %	100.0 %	0.1°

Le pourcentage qui compte est celui de X∩, et c'est le test honnête : ToTal n'emploie que deux des trois angles d'un triplet — il impose la fermeture au lieu de la constater, et ne peut donc pas voir ce que la clôture de Floyd-Warshall ajoute. Le juger sur X seul lui reprocherait des contraintes qu'il n'a jamais lues. Sur azimuts absolus les deux colonnes coïncident ; elles ne se séparent que sur graphe lacunaire.

La « pire violation » est un angle, pas une distance : un point à 2° quand dα en vaut 3.000000° viole la tolérance angulaire des deux tiers. Le convertir en mètres demanderait une direction, et il n'y en a pas une seule.

Le tracé et cette table ne sont pas de même nature que le reste de la page. X et X∩ sont certifiés : toute position hors d'eux est prouvée impossible. Le nuage est un échantillon — 3000 tirages, bruit « azimuts » — et ne prouve rien sur la méthode : il la montre.

Ce que cela a coûté

lecture du tableur	0.001 s
préparation du jeu	0.010 s
calcul de X∩ et X	0.314 s
aire et tracé	2.299 s
nuage de ToTal	0.369 s
total	2.993 s

Le calcul et l'analyse sont deux choses : la première est l'objet de l'étude, la seconde un outil pour la regarder. Leur coût ne dépend pas des mêmes choses — le calcul du jeu, l'analyse de la précision demandée.

Sur quoi

machine : Linux aarch64  --  Raspberry Pi 4 Model B Rev 1.1
          4 coeur(s) a 1.50 GHz, 3.7 Go,  4 fil(s) demande(s)
calcul  : intervalles fi64, mantisse hors solveur 256 bits
bati    : Sep  7 2026, gcc 14.2.0
          arrondi dirige disponible,  socle : pthreads oui, rsgc non, flint non
          gmp 6.3.0, mpfr 4.2.2, mpfi 1.5.4
sources : empreinte 15d85f1c0be5

Les temps ci-dessus valent pour cette machine et pour elle seule. Ce qui se transporte d'une machine à l'autre, ce sont les rapports — pas les secondes.

Le jeu exact engendré (ce que lit le calcul)

# ==============================================================================
#  Jeu DN -- engendre par preparer.py, NE PAS EDITER A LA MAIN
#  7 amers, portees 7010-17895 m depuis l'origine
#  delta = 31 m (30 m de carte + 1 m d'arrondi des coordonnees)
#  d_alpha = 3.000000 deg SUR L'ANGLE ENTRE AMERS
#             dont 8.12e-04 arcsec de transcription, majores et absorbes
#  21 paires mesurees sur 21 possibles
# ==============================================================================

const NOM = "DN"
const EMPREINTE = "1d437d237a962203"     # signature des donnees, recopiee dans le resultat

const AMERS = Tuple{Rational{BigInt},Rational{BigInt}}[
    (-2763//1, 6443//1),          # 1  azimut  337.64 deg
    (-4691//1, 6861//1),          # 2  azimut  326.41 deg
    (-9765//1, 9036//1),          # 3  azimut  313.08 deg
    (-13484//1, 7923//1),         # 4  azimut  301.40 deg
    (-11975//1, 6138//1),         # 5  azimut  298.10 deg
    (-13087//1, 5749//1),         # 6  azimut  294.73 deg
    (-16970//1, 5680//1),         # 7  azimut  288.55 deg
]

const DELTA = Rational{BigInt}(31)
const T_D   = Rational{BigInt}(1438, 54915)   # tan(d_alpha/2)

const MESURES = Dict{Tuple{Int,Int},Tuple{Rational{BigInt},Int}}(
    (1,2) => (5777//58760, 0),
    (1,3) => (10609//48739, 0),
    (1,4) => (28967//88520, 0),
    (1,5) => (13185//36683, 0),
    (1,6) => (35006//89073, 0),
    (1,7) => (26863//58823, 0),
    (2,3) => (11524//98619, 0),
    (2,4) => (20969//94546, 0),
    (2,5) => (18829//74658, 0),
    (2,6) => (27903//98345, 0),
    (2,7) => (33863//98737, 0),
    (3,4) => (6231//60920, 0),
    (3,5) => (11843//90078, 0),
    (3,6) => (15797//97804, 0),
    (3,7) => (6856//31537, 0),
    (4,5) => (2759//95779, 0),
    (4,6) => (3907//67047, 0),
    (4,7) => (7255//64426, 0),
    (5,6) => (1569//53336, 0),
    (5,7) => (7881//94346, 0),
    (6,7) => (2588//47941, 0) )

Le journal du calcul

machine : Linux aarch64  --  Raspberry Pi 4 Model B Rev 1.1
          4 coeur(s) a 1.50 GHz, 3.7 Go,  4 fil(s) demande(s)
calcul  : intervalles fi64, mantisse hors solveur 256 bits
bati    : Sep  7 2026, gcc 14.2.0
          arrondi dirige disponible,  socle : pthreads oui, rsgc non, flint non
          gmp 6.3.0, mpfr 4.2.2, mpfi 1.5.4
========================================
  DN  (7 amers)
========================================
  7 amers, 42 contraintes orientees
  elagage sur 109 boites : 9 paires sur 861
  X∩ : 9 sommets en 0.304 s  (elagage 0.104, solveur 0.166, filtres 0.018)
  boite de depart reprise de X∩ : x[-1962, 347]  y[-5628, 2890]
  germe repris de X∩ : 9 contrainte(s)
  critere : la cloture n'apporte rien sur 42 bornes  ->  X = X∩ est ACQUIS sans calculer X
            --critere : calcul de X saute, le resultat est X∩
  resultat : X∩, 9 sommets
  memoire : pic 36.6 Mo
  temps : X∩ 0.304 s   X 0.000 s   aire 0.000 s   bord 0.000 s   calcul 0.307 s   mural 0.307 s
  solveur : direct=9 erreur=0 asymptote=0 non_gen=0 plusieurs=0 coords=0
  dont decomposition 0.12 s, solve_ratparam_real 0.04 s
  ecrit : /tmp/geoloc-xprbjn1b/DN.resultat.json

========================================
  DN_courbes  (7 amers) -- analyse de /tmp/geoloc-xprbjn1b/DN.resultat.json
========================================
  aire de X∩ : [6672000, 6696000] m2  (0.347 %, niveaux 4 ; 144 prouvee(s), 0 mesuree(s), 0 majoree(s))
  bord de X∩ : 144 points  (fleche 0.28 px a 2160, niveaux 4)
  temps :   aire 2.120 s   bord 0.174 s
  ecrit : /tmp/geoloc-xprbjn1b/DN.analyse.json

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Sommets certifiés par arithmétique exacte sur ℤ ; aire garantie — la flèche de chaque sous-arc est majorée, pas échantillonnée. Le tracé est la polyligne du calcul lui-même, point par point.